CHAPTER 4

随机变量的数字特征

从“概率分布”到“特征数值”的抽象飞跃。
本章重点：期望的物理意义、方差的风险度量、协方差与相关性的本质。

SECTION 01

数学期望 (Mathematical Expectation)

定义与计算

离散型 $$ E(X) = \sum_{k} x_{k} p_{k} $$ 连续型 $$ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx $$

关键性质

线性性质： $E(aX+b) = aE(X) + b$
加法定理： $E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$ （无需独立）
乘法定理： 若 $X, Y$ 独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$
函数期望： $E[g(X)] = \int g(x)f(x)dx$ （无意识统计学家法则）

常用分布期望 E(X)

分布	E(X)
0-1分布 $B(1,p)$	$p$
二项分布 $B(n,p)$	$np$
泊松分布 $P(\lambda)$	$\lambda$
均匀分布 $U(a,b)$	$(a+b)/2$
指数分布 $E(\theta)$	$\theta$
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$

常用分布方差速查

分布	参数范围	方差 D(X)
两点分布	$0 < p < 1$	$p(1-p)$
二项分布	$n \ge 1, 0	$np(1-p)$
泊松分布	$\lambda > 0$	$\lambda$
均匀分布	$a < b$	$(b-a)^2 / 12$
指数分布	$\theta > 0$	$\theta^2$
正态分布	$\mu, \sigma > 0$	$\sigma^2$

重点记忆：泊松分布 $E(X)=D(X)=\lambda$

SECTION 02

方差 (Variance)

方差刻画了随机变量取值的分散程度（波动性）。

计算公式

$$ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $$

关键性质

$D(C) = 0$ (常数无波动)
$D(aX+b) = a^2 D(X)$ (注意系数平方)
若 X, Y 独立：$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$
若不独立：$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y)$

切比雪夫不等式

P\{|X - E(X)| \ge \varepsilon\} \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2}

SECTION 03

协方差与相关系数

多维随机变量的核心：研究变量间的相互影响与线性关系。

1. 协方差 (Covariance)

定义式：$Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$

常用计算公式 $$ Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) $$

对称性：$Cov(X, Y) = Cov(Y, X)$
线性：$Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)$
分配律：$Cov(X_1+X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)$

2. 相关系数 (Correlation Coefficient)

随机变量的标准化后的协方差。

\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}

重要性质与定理

性质 1: 有界性

$|\rho_{XY}| \le 1$。
(1) $|\rho|=1 \iff Y=aX+b$ (存在严格线性关系)
(2) $\rho=0 \iff X, Y$ 不相关

性质 2: 5个等价命题

以下说法是等价的：

$X$ 与 $Y$ 不相关
$\rho_{XY} = 0$
$Cov(X, Y) = 0$
$E(XY) = E(X)E(Y)$
$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$

性质 3: 独立 vs 不相关

独立 $\implies$ 不相关
(独立一定不相关，反之不一定)

特例： 对于二维正态分布，独立 $\iff$ 不相关。